Question

（理）设F₁，F₂分别为椭圆W：

x2

6

+

y2

2

=1的左、右焦点，斜率为k（k＞0）直线L经过右焦点F₂，且与椭圆W相交于A，B两点．
（1）如果线段F₂B的中点在y轴上，求直线l的方程；
（2）如果△ABF₁为直角三角形，求直线l的斜率k．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）椭圆W的左焦点F₁（-2，0），右焦点为F₂（2，0），由已知条件得点B的横坐标为-2，点B的坐标为（-2，±

6

3

）．由此能求出直线l的方程．
（2）由已知得∠BF₁A=90°，∠BAF₁=90°，或∠ABF₁=90°．当∠BF₁A=90°时，设直线AB的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，解得k=

23

23

；当∠BAF₁=90°（与∠ABF₁=90°相同）时，则点A在以线段F₁F₂为直径的圆x²+y²=4上，也在椭圆W上，
由

x2 6 + y2 2 =1 x2+y2=4

，解得A（

3

，1），或A（-

3

，1），或A（

3

，-1），或A（-

3

，-1），由此能求出直线l的斜率k=

23

23

，或k=2+

3

，或k=2-

3

时，△ABF₁为直角三角形．

解答： （1）解：椭圆W的左焦点F₁（-2，0），右焦点为F₂（2，0），
因为线段F₂B的中点在y轴上，
所以点B的横坐标为-2，
因为点B在椭圆W上，
将x=-2代入椭圆W的方程，得点B的坐标为（-2，±

6

3

）．
所以直线AB（即l）的方程为x+2

6

y-2=0或x-2

6

-2=0．
（2）解：因为△ABF₁为直角三角形，
所以∠BF₁A=90°，∠BAF₁=90°，或∠ABF₁=90°．
当∠BF₁A=90°时，
设直线AB的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
所以△=（12k²）²-4（1+3k²）（12k²-6）＞0，
x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

．
由∠BF₁A=90°，得

F1A

•

F1B

=0，
因为

F1A

=(x1+2，y1)，

F1B

=(x2+2，y2)，
所以

F1A

•

F1B

=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂
=x1x2+2(x1+x2)+4+k2(x1-2)(x2-2)
=（1+k²）x₁x₂+（2-2k²）（x₁+x₂）+4+4k²
=（1+k²）×

12k2-6

1+3k2

+（2-2k²）×

12k2

1+3k2

+4+4k²=0，
解得k=±

23

23

（舍负）．
当∠BAF₁=90°（与∠ABF₁=90°相同）时，
则点A在以线段F₁F₂为直径的圆x²+y²=4上，也在椭圆W上，
由

x2 6 + y2 2 =1 x2+y2=4

，
解得A（

3

，1），或A（-

3

，1），或A（

3

，-1），或A（-

3

，-1），
因为直线l的斜率为k＞0，
所以由两点间斜率公式，得k=2+

3

，或k=2-

3

，
综上，直线l的斜率k=

23

23

，或k=2+

3

，或k=2-

3

时，△ABF₁为直角三角形．

点评：本题考查直线方程的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．