Question

如图，四棱锤P-ABCD的底面为正方形，每题侧棱的长都等于底面的长，AC∩BD=O，E、F、G分别是PO、AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面EFG；
（Ⅱ）求平面EFG与平面PAB所成的二面角的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设FG∩AC=H，连结EH，由已知条件推导出AP⊥PC，EH⊥PC，FG⊥PC，由此能证明PC⊥平面EFG．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面EFG与平面PAB所成的二面角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：设FG∩AC=H，连结EH，
在Rt△ABC中，AB=BC，且AB²+BC²=AC²，
在△PAC中，PA=PC=AB，
PA²+PC²=AC²，∴AP⊥PC，
E、F、G分别是PO、AD、AB的中点，
FG∥BD，
∴H为AO中点，
∴EH∥PA，故EH⊥PC，
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∴FG⊥AC，
∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC．
同理，PO⊥BD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥FG，
∵PO∩AC=O，∴FG⊥平面PAC，
∴FG⊥PC，∵FG∩EH=H，
∴PC⊥平面EFG．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，
设OA=2，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），
E（0，0，1），F（1，-1，0），G（1，1，0），

AB

=（-2，2，0），

AP

=（-2，0，2），

EF

=(1，-1，-1)，

GF

=(0，-2，0)，
设平面EFG的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • EF =x-y-z=0 n • GF =-2y=0

，取x=1，得

n

=(1，0，1)，
设平面PAB的法向量为

m

=(a，b，c)，
则

m • AB =-2a+2b=0 m • AP =-2a+2c=0

，取a=1，得

m

=(1，1，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

6

3

，
设平面EFG与平面PAB所成的二面角的平面角为θ，
sinθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面所成二面角的平面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．