Question

已知函数f（x）=2

3

sinωxcosωx-2cos²ωx+a（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，最大值为3．
（Ⅰ）求ω和常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换，可求得f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+a-1，依题意，可得ω和常数a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1，利用正弦函数的单调性质即可求得函数f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sinωxcosωx-2cos²ωx+a
=

3

sin2ωx-cos2ωx+a-1
=2（

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx）+a-1
=2sin（2ωx-

π

6

）+a-1，
∵f（x）的最小正周期为π，最大值为3，
∴

2π

2ω

=π，ω=1；a+1=3，a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1，
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得：kπ-

π

6

≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，

π

3

+kπ]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，求得f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+a-1是关键，考查正弦函数的周期性、单调性及最值的应用，属于中档题．