Question

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，都有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数，并求出最小正周期；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）解析式；
（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2012）值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数周期性的定义证明f（x+4）=f（x）．
（2）令x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，求出f（x），再根据函数的周期性，求出答案．
（3）分别求出f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0，求出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，再根据函数f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．继而求出答案．

解答： （1）证明∵f（-x）=-f（x），f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
（2）令x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
∴f（-x）=-2x-x²，
又f（-x）=-f（x），
∴在x∈[-2，0]，f（x）=2x+x²，
∴x∈[2，4]，那么x-4∈[-2，0]，那么f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=x²-6x+8，
由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x-4）=x²-6x+8，
∴当x∈[2，4]时，f（x）=x²-6x+8，
（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
∴f（0）=0，f（1）=1，
当x∈[2，4]时，f（x）=x²-6x+8，
∴f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0-1+0=0，
∵，y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
∴2012÷4=503
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2012）=f（0）+503×0=0+0=0．

点评：本题主要考查函数周期性，奇偶性的应用，要求熟练掌握函数性质的综合应用．