Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₂+S₂=31，a_n+1=3a_n-2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：{a_n-2ⁿ}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义进行判断，即可得到结论．
（Ⅱ）根据{a_n-2ⁿ}为等比数列求出数列{a_n}的通项公式，利用分组求和法即可求出S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3•2n=3(an-2n)，
又a₂=3a₁-2，则S₂=a₁+a₂=4a₁-2，
得a₂+S₂=7a₁-4=31，得a₁=5，
∴a1-21=3≠0，
∴

an+1-2n+1

an-2n

=3，
故{an-2n}为等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an-2n=3n-1(a1-21)=3n，
故an=2n+3n，
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

+

3(1-3n)

1-3

=2n+1+

3n+1

2

-

7

2

．

点评：本题主要考查等比数列的应用及数列求和，根据分组求和法以及等比数列的求和公式是解决本题的关键．