Question

已知|

a

|=|

b

|=2，若函数f（x）=|

a

+x

b

|（x∈R）的最小值为1，则

a

•

b

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：由|

a

|=|

b

|=2，函数f（x）=|

a

+x

b

|（x∈R）的最小值为1，可得

b

2x2+2

a

•

b

x+

a

2 的最小值为1，即4x²+2

a

•

b

x+4 的最小值为1．令

a

•

b

=t．g（x）=4x²+2

a

•

b

x+4=4(x+

1

4

t)2+4-

1

4

t2，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵|

a

|=|

b

|=2，函数f（x）=|

a

+x

b

|（x∈R）的最小值为1，
∴

b

2x2+2

a

•

b

x+

a

2 的最小值为1，
即4x²+2

a

•

b

x+4 的最小值为1，
令

a

•

b

=t．
令g（x）=4x²+2

a

•

b

x+4=4(x+

1

4

t)2+4-

1

4

t2，
当且仅当x=-

1

4

t时，g（x）取得最小值4-

1

4

t2．
因此4-

1

4

t2=1，解得t=±2

3

．
∴

a

•

b

=±2

3

．
故答案为：±2

3

．

点评：本题考查了向量的数量积运算、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．