Question

已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）=f（x）+x+

6

x+1

的单调区间和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由f′(x)=

1

x+1

，得f′(1)=

1

2

，由-2=ln1+m-2×

1

2

，解得：m=-1，从而求出函数的表达式为：y=ln（x+1）-2，
（2）由g′(x)=

1

x+1

+1-

6

(x+1)2

=

(x+4)(x-1)

(x+1)2

，得函数g（x）的单调减区间为（-1，1），单调增区间为（1，+∞），从而极小值是g（1）=2+ln2，无极大值．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

1

x+1

，
∴f′(1)=

1

2

，
∵函数f（x）的图象过点（0，-2），
∴-2=ln1+m-2×

1

2

，解得：m=-1，
∴函数的表达式为：y=ln（x+1）-2，
（2）函数g（x）的定义域为（-1，+∞），
∴g′(x)=

1

x+1

+1-

6

(x+1)2

=

(x+4)(x-1)

(x+1)2

，
∴当-1＜x＜1时，g'（x）＜0；当x＞1时，g'（x）＞0，
∴函数g（x）的单调减区间为（-1，1），单调增区间为（1，+∞），
∴极小值是g（1）=2+ln2，无极大值．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用．