Question

设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），已知它的一条对称轴是直线x=

π

8

．
（1）求函数f（x）的递减区间和对称中心；
（2）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得2×

π

8

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，求得φ 的值，可得f（x）的解析式．再利用正弦函数的单调性和对称性，求得函数f（x）的递减区间和对称中心．
（2）由 x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的一条对称轴是直线x=

π

8

，
∴2×

π

8

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，即 φ=kπ+

π

4

，
∴φ=-

3π

4

，f（x）=sin（2x-

3π

4

）．
令2kπ+

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

5π

8

≤x≤kπ+

9π

8

，
故函数的减区间为[kπ+

5π

8

，kπ+

9π

8

]，k∈z．
令2x-

3π

4

=kπ，求得x=

kπ

2

+

3π

8

，
故函数的对称中心为（

kπ

2

+

3π

8

，0）．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

3π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，
∴故当2x-

3π

4

=-

π

2

时，函数f（x）=sin（2x-

3π

4

）取得最小值为-1；
当2x-

3π

4

=

π

4

时，函数f（x）=sin（2x-

3π

4

）取得最大值为

2

2

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性和对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．