Question

已知二次函数f（x）=ax²-4bx+2．
（Ⅰ）任取以a∈{1，2，3}，b∈{-1，1，2，3，4}，记“f（x）在区间[1，+∞）上是增函数”为事件A，求A发生的概率；
（Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b+2≤0，b＞0}，记“关于x的方程f（x）=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,几何概型

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）列举出所有的基本事件，找到满足条件的基本事件，根据古典概率公式计算即可；
（Ⅱ）求出Rt△AOB，△BCD的面积，根据几何概型的概率计算即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵a有三种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5=15个，
∵二次函数f（x）=ax²-4b+2的图象关于直线x=-

b

2a

对称，若事件发生，则a＞0，且

2b

a

≤1，
此时（a，b）的取值为（1，-1），（2，-1），（2，1），（3，-1），（3，1）共5种，
故A发生的概率P（A）=

5

15

=

1

3

；
（Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b+2≤0，b＞0}对应的平面区域为Rt△AOB，如图，
其中A（6，0），B（0，

3

2

），则Rt△AOB的面积为

1

2

×

3

2

×6=

9

2

，
若事件B发生，则f（1）＜0，即a-4b+2＜0，
所以事件B对应的平面区域为△BCD，
由

x+4y-6=0 x-4y+2=0

，得交点坐标为D（2，1）
又C（0，

1

2

），则△BCD的面积为

1

2

×(

3

2

-

1

2

)×2=1，
所以P（B）=

2

9

点评：本题主要考查了古典概型和几何概型的概率问题，几何概型关键是画出图象，属于基础题．