Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，DC⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=

2π

3

．
（ I）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-EB-D的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取BE的中点O，连OC，OF，DF，可利用条件得OC∥FD，再利用条件证得OC⊥平面ABE，即可得到平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）因为二面角A-EB-D与二面角F-EB-D相等，即找二面角F-EB-D的平面角为∠FOD即可．

解答： （Ⅰ）证明：取BE的中点O，连OC，OF，DF，则2OF与BA平行且相等．
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD与BA平行且相等，
∴OF与CD平行且相等，
∴OC∥FD；
∵BC=CE，∴OC⊥BE，
又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．
从而平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）解：二面角A-EB-D与二面角F-EB-D相等，
由（Ⅰ）知二面角F-EB-D的平面角为∠FOD．
BC=CE=2，∠BCE=120°，OC⊥BE得BO=OE=

3

，OC=1，
∴OFDC为正方形，
∴∠FOD=45°．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．