Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（Ⅰ）求f（1）、f（

1

9

）的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）令x=y=1，求出f（1）=0，令x=y=3求出f（9），令x=9，y=

1

9

，求出f（

1

9

）；
（Ⅱ）0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，则由②得f（

x2

x1

）＜0，再由①得到f（x₂）＜f（x₁），由函数的单调性即可得证．

解答： （Ⅰ）解：令x=y=1，得f（1）=2f（1），即f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f（9）+f（

1

9

）=f（1）=0，得f（

1

9

）=2．
（Ⅱ）证明：若0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
则由②得f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考查函数的单调性和运用，考查抽象函数值的求法：赋值法．属于中档题．