Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n=2a_n-1（S_n为数列{a_n}的前n项和），数列{b_n}为等差数列且满足b₁=a₄，b₄=a₂；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{|b_n|}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=2a_n-1，得S_n-1=2a_n-1-1（n≥2），两式相减可得递推式，由递推式可判断{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求a_n；
（2）由（1）易求b₁，b₄，从而可求通项b_n，|b_n|，分n≤5，n≥6两种情况进行讨论可求得T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-1，
∴S_n-1=2a_n-1-1（n≥2），
∴a_n=2a_n-2a_n-1，∴a_n=2a_n-1，
又a₁=1≠0，
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
an=2n-1．
（2）由（1）知b1=a4=24-1=8，b4=a2=22-1=2，
∵{b_n}为等差数列，
∴其公差d=

b4-b1

4-1

=

2-8

4-1

=-2，
∴b_n=b₁+（n-1）d=8+（n-1）×（-2）=10-2n，
∴|b_n|=|10-2n|=

10-2n，n≤5 2n-10，n≥6

，
∴当n≤5时，Tn=8n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n2+9n；
当n≥6时，Tn=-52+9×5+(2+4+…+2n-10)=20+

(2+2n-10)×(n-5)

2

=20+（n-4）（n-5）=n²-9n+40；
综上可知Tn=

-n2+9n，n≤5 n2-9n+40，n≥6

．

点评：该题考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查分类讨论思想，考查学生的运算求解能力，属中档题．