Question

如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2．将△ABD沿边AB折起，使得△ABD与△ABC成直二面角D-AB-C，如图二，在二面角D-AB-C中．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求D、C之间的距离；
（3）求DC与面ABD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明BD⊥面ABC，即可证明BD⊥AC；
（2）依题意建立空间直角坐标系使得△ABC在yoz平面上，由已知条件分别求出点C和点D的空间坐标，利用空间两点间的距离公式能求出D、C之间的距离．
（3）由题设取AB的中点H，连结CH、DH和DC，证明∠CDH为直线DC与面ABD所成的角，即可求出CD与平面ABD所成的角．

解答： （1）证明：∵面ABD⊥面ABC，面ABD∩面ABC=AB，BD?面ABD，BD⊥AB，
∴BD⊥面ABC，
又∵AC?面ABC，∴BD⊥AC…（4分）
（2）解：∵BD⊥面ABC，BC?面ABC，
∴BD⊥BC
在Rt△DBC中，BC=BA=2，BD=2，∴DC=

DB2+BC2

=

22+22

=2

2

…（8分）
（3）解：取AB的中点H，连结CH、DH和DC，则
∵△ABC是正三角形，∴CH⊥AB，
又∵面ABD⊥面ABC，∴CH⊥面ABD，即DH是DC在面ABD内的射影
则∠CDH为直线DC与面ABD所成的角                          …（10分）
∵CH=

3

2

BC=

3

，DC=2

2

，
∴sin∠CDH=

CH

DC

=

6

4

故直线DC与面ABD所成的角的正弦值为

6

4

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直的证明，考查空间两点间的距离的求法，考查直线与平面所成角的大小的求法，正确运用线面垂直的判定定理是关键．