Question

已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+2）=-f（x）+f（1）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称，则f（2014）=（　　）

• A、3
• B、2014
• C、0
• D、-2014

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x+1）的图象关于（-1，0）对称且由y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象可知函数y=f（x）的图象关于原点对称即函数y=f（x）为奇函数，在已知条件中令x=-1可求f（1）及函数的周期，利用所求周期即可求解

解答： 解：∵函数f（x+1）的图象关于（-1，0）对称且把y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象，
∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，
∴f（0）=0
∵f（x+2）=-f（x）+f（1）
令x=-1可得
f（1）=-f（-1）+f（1），
∴f（-1）=f（1）=0，
从而可得f（x+2）=-f（x）=f（-x），
即函数是以4为周期的周期函数
∴f（2014）=f（503×2）=f（2）=-f（0）=0
故选：C．

点评：本题主要考出了函数的图象的平移及函数图象的对称性的应用，利用赋值求解抽象函数的函数值，函数周期的求解是解答本题的关键所在．