Question

（文）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是圆内接四边形（记此圆为W），且PA⊥平面ABCD．
（1）当AC是圆W的直径时，求证：平面PBC⊥平面PAB；
（2）当BD是圆W的直径时，PA=BD=2，AD=CD=

3

，求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）在（2）的条件下，证明：直线AB不可能与平面PCD平行．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）应用面面垂直的判定定理，证得BC⊥平面PAB即可；
（2）求出S_△ABD=S_△BCD=

3

2

，即可求出四棱锥P-ABCD的体积；
（3）利用反证法进行证明即可．

解答： （1）证明：∵AC是圆的直径，∴AB⊥CB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB；
（2）解：∵BD是圆W的直径时，BD=2，AD=CD=

3

，
∴AB=BC=1，
∴S_△ABD=S_△BCD=

3

2

．
∵PA=2，
∴四棱锥P-ABCD的体积为

1

3

•

3

•2=

2 3

3

；
（3）证明：假设直线AB与平面PCD平行，则AB∥CD，
由（2）知∠ABC=30°，∠CDB=60°，
∴AB与CD不平行，
∴直线AB不可能与平面PCD平行．

点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定与性质，同时考查四棱锥P-ABCD的体积的求法，是一道综合题．