Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线右支上存在点P使得

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

，则该双曲线离心率的取值范围为（　　）

• A、（0，

  2

  -1）
• B、（

  2

  -1，1）
• C、（1，

  2

  +1）
• D、（

  2

  +1，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：△PF₁F₂中，由正弦定理得

|PF1|

sin∠PF2F1

=

|PF2|

sin∠PF1F2

，再由已知得

|PF1|

|PF2|

=

c

a

，根据P在双曲线右支上，得关于e的不等式，从而求出e的范围．

解答： 解：由题意，点P不是双曲线的顶点，否则

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

无意义；
在△PF₁F₂中，由正弦定理得

|PF1|

sin∠PF2F1

=

|PF2|

sin∠PF1F2

；
又

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

，∴

|PF1|

|PF2|

=

c

a

，
即|PF₁|=

c

a

•|PF₂|；
∵P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得
|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴

c

a

•|PF₂|-|PF₂|=2a，即|PF₂|=

2a2

c-a

；
由双曲线的几何性质，知
|PF₂|＞c-a，
∴

2a2

c-a

＞c-a，
即c²-2ac-a²＜0；
∴e²-2e-1＜0，
解得-

2

+1＜e＜

2

+1；
又e＞1，
∴双曲线离心率的范围是（1，

2

+1）．
故选：C．

点评：本题考查了求双曲线的离心率的范围的问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的灵活运用问题，是中档题．