Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，Sn=$\frac{n+2}{3}{a}_{n}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列满足${b_n}={（{-1}）^n}•\frac{2n+1}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与“累乘求积”方法即可得出；
（2）对n分类讨论，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）由题意得当n≥2时，${S_{n-1}}=\frac{n+1}{3}{a_{n-1}}$，
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n+2}{3}{a_n}-\frac{n+1}{3}{a_{n-1}}$，
即${a_n}=\frac{n+1}{n-1}{a_{n-1}}$，
∴${a_2}=3{a_1}，{a_4}=\frac{4}{2}{a_3}，…{a_n}=\frac{n+1}{n-1}{a_{n-1}}$，
以上各式相乘得${a_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}{a_1}=n（{n+1}）$，
当n=1时，a₁=2也适合上式，
∴${a_n}=n（{n+1}）（{n∈{N^*}}）$．
（2）${b_n}={（{-1}）^n}•\frac{2n+1}{a_n}$=${（{-1}）^n}•\frac{{（{n+1}）+n}}{n（n+1）}={（{-1}）^n}（{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}}）$，
∴当n是偶数时，${T_n}=-（{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}）-（{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}）…+（{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}}）=\frac{1}{n+1}-1=-\frac{n}{n+1}$
当n是奇数时，
T_n=-$（1+\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$+…-$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$=-$\frac{1}{n+1}$-1=-$\frac{n+2}{n+1}$．
故T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n}{n+1}，n为偶数}\\{-\frac{n+2}{n+1}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系与“累乘求积”方法、分类讨论方法、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．