Question

已知数列{a_n}中a₁=1，且a_2k=a_2k-1+（-1）^k，a_2k+1=a_2k+3^k，其中k=1，2，3，……。
（1）求a₃，a₅；
（2）求{a_n}的通项公式。

Answer 1

解：（1）a₂=a₁+（-1）¹=0，
a₃=a₂+3¹=3
a₄=a₃+（-1）²=4，
a₅=a₄+3²=13，
所以，a₃=3，a₅=13。
（2）a_2k+1=a_2k+3^k =a_2k-1+（-1）^k+3^k，
所以a_2k+1-a_2k-1=3^k+（-1）^k，
同理a_2k-1-a_2k-3=3^k-1+（-1）^k-1，
……
a₃-a₁=3+（-1）
所以（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）
=（3^k+3^k-1+…+3）+[（-1）^k+（-1）^k-1+…+（-1）]，
由此得a_2k+1-a₁=（3^k-1）+[（-1）^k-1]，
于是a_2k+1=
a_2k=a_2k-1+（-1）^k=（-1）^k-1-1+（-1）^k=（-1）^k=1
{a_n}的通项公式为：
当n为奇数时，a_n=；
当n为偶数时，。