Question

【题目】过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1 ， k2的两条不同直线l1 ， l2 ， 且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（1）若k1＞0，k2＞0，证明： ；
（2）若点M到直线l的距离的最小值为 ，求抛物线E的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，抛物线E的焦点为 ，直线l1的方程为 ．

由 ，得 ．

设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．

从而x1+x2=2pk1， ．

所以点M的坐标为 ， ．

同理可得点N的坐标为 ， ．

于是 ．

由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜ ．

故 ．

（2）解：由抛物线的定义得 ， ，

所以 ，从而圆M的半径 ．

故圆M的方程为 ，

化简得 ．

同理可得圆N的方程为

于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为 ．

又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．

因为p＞0，所以点M到直线l的距离为

= ．

故当 时，d取最小值 ．由题设 ，解得p=8．

故所求抛物线E的方程为x2=16y．

【解析】（1）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量 和 的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（2）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（1）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于 求出p的值，则抛物线E的方程可求．