Question

【题目】已知函数，既存在极大值，又存在极小值.

（1）求实数的取值范围；

（2）当时，，分别为的极大值点和极小值点.且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，结合函数的单调性确定的范围即可；

（2）求出函数的极值点，问题转化为，设，根据函数的单调性确定的范围即可．

解：（1）由得，

即，

由题意，若存在极大值和极小值，则必有两个不相等的实数根，

由得，所以必有一个非零实数根，

∴，，∴且，∴或.

综上，实数的取值范围为.

（2）当时，由（1）可知的极大值点为，极小值点为，

此时，，

依题意得对任意恒成立，

由于此时，所以；

所以，即，

设，，则

，

令，判别式.

①当时，，所以，在单调递增，

所以，即，符合题意；

②当时，，设的两根为，，且，

则，，因此，

则当时，，在单调递减，

所以当时，，即，

所以，矛盾，不合题意；

综上，的取值范围是.