Question

三棱锥A-BCD中，对棱AD、BC所成的角为30°且AD=BC=a．截面EFGH是平行四边形，交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H，设

BE

AB

=t
（1）求证：BC∥平面EFGH；
（2）求证：平行四边形EFGH的周长为定值；
（3）设截面EFGH的面积为S，写出S与t的函数解析式，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由四边形EFGH为平行四边形，可得到EF∥GH，根据线面平行的判定，可得到EF∥平面BCD，再由线面平行的性质可得到EF∥BC
最后由线面平行的判定得到BC∥平面EFGH．
（2）由（1）可得BC∥HG，同理可证得：AD∥EH，由EH∥AD得到

EH

AD

=

BE

AB

=t将各边用a，t表示可得周长λ=2（EH+HG）=（at+a-at）=2a=定值．
（3）由EH∥AD，HG∥BC，可知∠EHG是AD与BC所成的角且∠EHG=30°，再由正弦定理建立面积模型，利用二次函数法求最值．

解答：解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形∴EF∥GH
又∵EF?平面BCD，GH?平面BCD∴EF∥平面BCD
又∵EF?平面ABC，平面ABC∩平面BCD=BC
∴EF∥BC
又∵BC?平面EFGH，EF?平面EFGH∴BC∥平面EFGH
（2）由（1）可得BC∥HG，同理可证得：AD∥EH
∵EH∥AD∴

EH

AD

=

BE

AB

=t∴EH=at
又∵Ha∥BC∴

Ha

BC

=

DH

BD

=

AE

AB

=1-t
∴HG=a（1-t）∴周长λ=2（EH+HG）=（at+a-at）=2a=定值．
（3）∵EH∥ADHG∥BC
∴∠EHG是AD与BC所成的角（设∠EHG为锐角）∴∠EHG=30°
∴S=EH×HG×sin30°=

1

2

×at×a(1-t)=

1

2

a2t(1-t)
∴当t=

1

2

时，S_最大=

a2

8

．

点评：本题主要考查了线线，线面，面面平行关系的转化，以及平面图形的周长与面积模型的建立方法，考查很综合，属中档题．