练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）经过点M(1，
    3
    2
    )    ，其离心率为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设直线l：y=kx+m  (|k|≤
    1
    2
    )    与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．
    （Ⅰ）由已知可得e2=
    a2-b2
    a2
    =
    1
    4
    ，所以3a2=4b2①（1分）
    又点M(1，
    3
    2
    )    在椭圆C上，
    所以
    1
    a2
    +
    9
    4b2
    =1    ②（2分）
    由①②解之，得a2=4，b2=3．
    故椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．（5分）
    （Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±
    		3
    2
    ，
    所以|OP|=
    		3
    ．（6分）
    当k≠0时，则由
    y=kx+m
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1.

    消y化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
    △=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）＞0③（8分）
    设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），
    则x0=x1+x2=-
    8km
    3+4k2
    ，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=
    6m
    3+4k2
    ．（9分）
    由于点P在椭圆C上，所以
    x20
    4
    +
    y20
    3
    =1    ．（10分）
    从而
    16k2m2
    (3+4k2)2
    +
    12m2
    (3+4k2)2
    =1    ，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．（11分）
    又|OP|=
    x20
    +
    y20
    =
    64k2m2
    (3+4k2)2
    +
    36m2
    (3+4k2)2

    =
    4m2(16k2+9)
    (3+4k2)2
    =
    16k2+9
    4k2+3

    =
    		4-
    3
    4k2+3
    ．（12分）
    因为0＜|k|≤
    1
    2
    ，得3＜4k2+3≤4，有
    3
    4
    ≤
    3
    4k2+3
    ＜1    ，
    故
    		3
    ＜|OP|≤
    		13
    2
    ．（13分）
    综上，所求|OP|的取值范围是[
    		3
    ，
    		13
    2
    ]    ．（14分）
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    1
    2
    ，且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的短轴长为2
    		3
    ，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
    DA
    =λ
    DB
    ，若λ∈[
    3
    8
    ，
    1
    2
    ]，求直线AB的斜率的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过点A（1，
    		3
    2
    ），且离心率e=
    		3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•房山区二模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的短轴长为2，离心率为
    		2
    2
    ，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
    AP+BQ
    PQ
    ，若直线l的斜率k≥
    		3
    ，则λ的取值范围为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案