Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上，又∠BAD=90°，BC∥AD，且BC：AB：AD=1：2：2．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）若PO=BC，求直线PD与AB所成的角；
（3）若平面APB与平面PCD所成的角为60°，求

PO

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o-xyz，求出向量

AC

，

PD

的坐标，代入数量积公式，验证其数量积与0的关系，即可得到结论．
（2）由PO=BC，得h=a，求出向量

AB

，

PD

的坐标，代入向量夹角公式，即可求出直线PD与AB所成的角；
（3）求出平面APB与平面PCD的法向量，根据平面APB与平面PCD所成的角为60°，构造关于h的方程，解方程即可得到

PO

BC

的值．

解答：解：因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o-xyz（如图）．
（1）设BC=a，OP=h则依题意得：B（a，0，0），A（-a，0，0），
P（0，0，h），C（a，a，0），D（-a，2a，0）．
∴

AC

=（2a，a，0），

PD

=（-a，2a，-h），（4分）
于是

AC

•

PD

=-2a²+2a²=0，∴PD⊥AC；
（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），（5分）
∵

AB

=（2a，0，0），

PD

=（-a，2a，-a），
∴

AB

•

PD

=-2a²，cos＜

AB

，

PD

＞=

-2a2

2a• 6 a

=

- 6

6

，
∴直线PD与AB所成的角的余弦值为

6

6

；
（3）设平面PAB的法向量为m，可得m=（0，1，0），
设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），由

PC

=（a，a，-h），

PD

=（-a，2a，-h），
∴

ax+ay-hz=0 -ax+2ay-hz=0

，解得n=（1，2，

3a

h

），∴m•n=2，
cos＜m，n＞=

2

5+ 9a2 h2

，
∵二面角为60°，∴

5+ 9a2 h2

=4，
解得

h

a

=

3 11

11

，即

PO

BC

=

3 11

11

．（5分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，求出相应直线的方向向量及相关平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．