【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
,
,
分别为
,
的中点,点
在线段
上.
(Ⅰ)求证:平面
.
(Ⅱ)若为
的中点,求证:
平面
.
(Ⅲ)如果直线与平面
所成的角和直线
与平面
所在的角相等,求
的值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由平行四边形的性质可得,有中点的性质有
,则
,
由面面垂直的性质定理可得,结合线面垂直的判断定理可得
平面
.
(Ⅱ)由三角形中位线的性质可得,则
平面
,同理,得
平面
,利用面面平行的判断定理可得平面
平面
,则
平面
.
(Ⅲ)由题意可知,
,
两两垂直,以
,
,
分别为
轴,
轴和
轴建立空间直角坐标系,结合几何关系点的坐标可得平面
的法向量
,平面
的法向量为
,由于直线
与平面
所成的角和此直线与平面
所成的角相等,据此结合空间向量计算可得
.
试题解析:
(Ⅰ)证明:在平行四边形中,
∵,
,
,
∴,∵
,
分别为
,
的中点,
∴,∴
,
∵侧面底面
,且
,
∴底面
,∴
,
又∵,
平面
,
平面
,
∴平面
.
(Ⅱ)证明:∵为
的中点,
为
的中点,
∴,又∵
平面
,
平面
,
∴平面
,同理,得
平面
,
又∵,
平面
,
平面
,
∴平面平面
,又∵
平面
,
∴平面
.
(Ⅲ)解:∵底面
,
,
∴,
,
两两垂直,故以
,
,
分别为
轴,
轴和
轴建立如图空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
所以,
,
,
设,则
,
∴,
,
易得平面的法向量
,
设平面的法向量为
,则:
,即
,令
,得
,
∴直线与平面
所成的角和此直线与平面
所成的角相等,
∴,即
,
∴,解得
或
(舍去),
故.
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【题目】已知二次函数和函数
,
(1)若为偶函数,试判断
的奇偶性;
(2)若方程有两个不等的实根
,则
①试判断函数在区间
上是否具有单调性,并说明理由;
②若方程的两实根为
求使
成立的
的取值范围.
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【题目】已知常数,向量
,
,经过点
,以
为方向向量的直线与经过点
,以
为方向向量的直线交于点
,其中
.
()求点
的轨迹方程,并指出轨迹
.
()若点
,当
时,
为轨迹
上任意一点,求
的最小值.
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【题目】已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.
(1)当m=-1时,求A∪B;
(2)若AB,求实数m的取值范围;
(3)若A∩B=,求实数m的取值范围.
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【题目】如图1,为等边三角形,
分别为
的中点,
为
的中点,
,将
沿
折起到
的位置,使得平面
平面
,
为的中点,如图2.
(1)求证:平面
;
(2)求点到平面
的距离.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称函数
是
上的有界函数,其中
称为函数的上界.已知函数
.
(1)当时,求函数
在
上的值域,并判断函数
在
上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围;
(3)若,函数
在
上的上界是
,求
的解析式.
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【题目】有两个不透明的箱子,每个箱子都装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4.
(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子摸出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率;
(2)摸球方法与(1)同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不相同则乙获胜,这样规定公平吗?请说明理由。
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