Question

4．若以椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴端点B（0，1）为直角顶点作椭圆内接等腰直角三角形，问这样的三角形能不能做？若能做，可做多少个？

Answer 1

分析 设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-$\frac{1}{k}$x+1，由此判断是否存在内接等腰直角三角形．

解答 解：设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），
由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，
故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），
则BC边所在直线的方程为y=-$\frac{1}{k}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，消去y，可得x=0或x=-$\frac{2k{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，
得A（-$\frac{2k{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{1-{a}^{2}{k}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$），
∴|AB|=$\sqrt{（-\frac{2k{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}）^{2}+（-\frac{2{a}^{2}{k}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，
用-$\frac{1}{k}$代替上式中的k，得|BC|=$\frac{2{a}^{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}+{a}^{2}}$，
由|AB|=|BC|，得|k|（a²+k²）=1+a²k²
∵k＜0，∴（k+1）（k²+k（a²-1）+1）=0，
对k²+（k（a²-1）+1=0的判别式△=（a²-1）²-4=（a²-3）（a²+1），
若△=0，则a=$\sqrt{3}$，解得k=-1；
若△＜0，即0＜a＜$\sqrt{3}$，则k²+（k（a²-1）+1=0无实数解；
若△＞0，即a＞$\sqrt{3}$，则k²+k（a²-1）+1=0的解为k=$\frac{1-{a}^{2}+\sqrt{（{a}^{2}-1）^{2}-4}}{2}$＜0，
或k=$\frac{1-{a}^{2}-\sqrt{（{a}^{2}-1）^{2}-4}}{2}$＜0；
综上可得当0＜a≤$\sqrt{3}$时，存在一个内接等腰直角三角形；
当a＞$\sqrt{3}$时，存在三个内接等腰直角三角形．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与椭圆的相关知识，解题时要注意椭圆性质的灵活运用，合理地进行等价转化．