Question

已知函数f（x）=2x³-

1

2

x²+m（m为常数）图象上A处的切线与x-y+3=0的夹角为45°，则A点的横坐标为（　　）

• A、0
• B、1
• C、0或

  1

  6

• D、1或

  1

  6

Answer 1

分析：由已知直线的方程求出其斜率，进一步得到其倾斜角，根据函数f（x）图象上A处的切线与x-y+3=0的夹角为45°，求得过A点的切线的倾斜角，得到斜率，设出切点A（x₀，y₀），由f′（x₀）=0求得x₀的值．

解答：解：∵直线x-y+3=0的斜率为1，∴其倾斜角为45°，
又函数f（x）=2x³-

1

2

x²+m（m为常数）图象上A处的切线与x-y+3=0的夹角为45°，
∴函数f（x）=2x³-

1

2

x²+m（m为常数）图象上A处的切线的倾斜角为0°或90°．
∴切线的斜率为0或不存在．
由f（x）=2x³-

1

2

x²+m，得
f′（x）=6x²-x，
设A（x₀，y₀），
∴f′(x0)=6x02-x0．
由6x02-x0=0，得x₀=0或x0=

1

6

．
故选：C．

点评：本题考查了直线的夹角，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，是中档题．