Question

已知函数f（x）=log₂．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂（x-k）有实根，求实数k的取值范围；
（3）问：方程f（x）=x+1是否有实根？如果有，设为x₀，请求出一个长度为的区间（a，b），使x₀∈（a，b）；如果没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由得-1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（-1，1）； （2'）
因为f（-x）+f（x）=log₂+log₂=log₂=log₂1=0，
所以f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数． （4'）
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有实根，也就是方程=x-k即k=x-在（-1，1）内有解，
所以实数k属于函数y=x-=x+1-在（-1，1）内的值域． （6'）
令x+1=t，则t∈（0，2），因为y=t-在（0，2）内单调递增，所以t-∈（-∞，1）．
故实数k的取值范围是（-∞，1）． （8'）
（3）设g（x）=f（x）-x-1=log₂-x-1（-1＜x＜1）．
因为，且y=log₂x在区间（0，+∞）内单调递增，所以log₂＜log₂2³，
即4log₂＜3，亦即log₂＜．
于是g（-）=log₂-＜0． ①（10'）
又∵g（-）=log₂-＞1-＞0． ②（12'）
由①②可知，g（-）•g（-）＜0，
所以函数g（x）在区间（-，-）内有零点x₀．
即方程f（x）=x+1在（-，-）内有实根x₀． （13'）
又该区间长度为，因此，所求的一个区间可以是（-，-）．（答案不唯一） （14'）
分析：（1）先求出函数的定义域，看是否关于原点对称，再计算f（-x），利用=（） ^-1可得f（-x）=-f（x），从而得到函数为奇函数；
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有实根，也就是方程=x-k即k=x-在（-1，1）内有解，从而得出实数k属于函数y=x-=x+1-在（-1，1）内的值域．下面利用换元法求出其值域即可得到实数k的取值范围；
（3）设g（x）=f（x）-x-1=log₂-x-1（-1＜x＜1）．用“二分法”逐步探求，先算区间（-1，1）的中点g（0）=-1＜0，由于g（x）在（-1，1）内单调递减，于是再算区间（-1，0）的中点g（-）=log₂3-＞0，然后算区间（-，0）的中点 g（-）＜0，最后算区间（-，-）的中点g（-）＞0．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，二分法，以及对数的运算性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．属于对数函数的综合题．