Question

已知函数f（x）=

px2+2

3x+q

是奇函数，且f（2）=

5

3

，
（1）求实数p，q的值；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接根据奇函数的定义确定有关参数的值；
（2）借助于导数求解函数的单调增区间和减区间．

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴

px2+2

-3x+q

+

px2+2

3x+q

=0，
∴q=0，
∵f（2）=

5

3

，
∴

4p

3

+

2

3×2

=

5

3

，
∴p=1，
∴实数p，q的值分别为1，0；
（2）根据（1），f（x）=

x

3

+

2

3x

，
∵f′（x）=

1

3

-

2

3x2

，（x＞1），
令f′（x）＞0，
∴x＞

2

，
f′（x）＜0，
∴1＜x＜

2

，
∴f（x）的增区间为：（

2

，+∞），
减区间为（1，

2

），

点评：本题重点考查了函数是奇函数的重要性质，利用导数研究函数的单调性问题，属于中档题．