Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为．

(Ⅰ)证明a＝；

(Ⅱ)求t∈(0，b)使得下述命题成立：设圆x²＋y²＝t²上任意点M(x₀，y₀)处的切线交椭圆于Q₁，Q₂两点，则OQ₁⊥OQ₂．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证法一：由题设及，，不妨设点，其中 　　，由于点在椭圆上，有， 　　， 　　解得，从而得到， 　　直线的方程为，整理得 　　． 　　由题设，原点到直线的距离为，即 　　， 　　将代入原式并化简得，即． 　　证法二： 同证法一，得到点的坐标为， 　　过点作，垂足为，易知，故 　　 　　由椭圆定义得，又，所以 　　， 　　解得，而，得，即． 　　(Ⅱ)解法一：圆上的任意点处的切线方程为． 　　当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组 　　的解．当时，由①式得 　　 　　代入②式，得，即 　　， 　　于是， 　　 　　 　　 　　． 　　若，则 　　． 　　所以，．由，得．在区间内此方程的解为． 　　当时，必有，同理求得在区间内的解为． 　　另一方面，当时，可推出，从而． 　　综上所述，使得所述命题成立．