Question

13．已知函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）证明函数在定义域内是单调增函数．

Answer 1

分析 （1）使函数有意义时，需$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，这样便可得出定义域为（-1，1）；
（2）容易得出f（-x）=-f（x），从而判断出该函数为奇函数；
（3）先将原函数变成f（x）=$lg\frac{1+x}{1-x}$，根据增函数的定义，定义域内设任意的x₁＜x₂，然后作差，进行对数的运算，得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lg\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$，根据-1＜x₁＜x₂＜1证明$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}＜1$即可得出f（x）在定义域内单调递增．

解答 解：（1）解$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
∴f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x）；
∴该函数为奇函数；
（3）证明：$f（x）=lg\frac{1+x}{1-x}$，设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lg\frac{1+{x}_{1}}{1-{x}_{1}}-lg\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$lg\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴0＜1+x₁＜1+x₂，0＜1-x₂＜1-x₁；
∴$0＜\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}＜1，0＜\frac{1-{x}_{2}}{1-{x}_{1}}＜1$；
∴$0＜\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}＜1$；
∴$lg\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在定义域内为单调增函数．

点评 考查函数定义域、奇偶性的定义，对数的真数大于0，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），对数的运算，对数函数的单调性．