Question

（2009•金山区一模）已知函数f（x）=log₄（4^x+1），g（x）=（k-1）x，记F（x）=f（x）-g（x），且F（x）为偶函数．
（1）求实常数k的值；
（2）求证：当m≤1时，函数y=f（2x）与函数y=g（2x+m）的图象最多只有一个交点．

Answer 1

分析：（1）由F（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x为偶函数，所以F（-x）=F（x） 代入整理可求K
（2）由 f（2x）=g（2x+m），可得log₄（4^2x+1）=

1

2

（2x+m）即4^2x-4^x2^m+1=0，结合m的范围判断该方程的根的个数
可求

解答：解：（1）F（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x，
因为F（x）为偶函数，所以F（-x）=F（x） …（1分）
log₄（4^x+1）-（k-1）x=log₄（4^-x+1）+（k-1）x…（3分）
所以（2k-2）x=x，…（4分）
因为x∈R，所以k=

3

2

…（6分）
（2）因为 f（2x）=g（2x+m），
所以log₄（4^2x+1）=

1

2

（2x+m），…（7分）
即4^2x-4^x2^m+1=0…（8分）
又m≤1，所以△=4^m-4≤0，当m=1时，方程有唯一解x=0，当m＜1时，方程无解，所以方程最多只有一解，…（10分）
即两个函数图象最多只有一个交点．…（12分）

点评：本题主要考查了偶函数定义f（-x）=f（x）的应用，方程的根的个数与函数的交点个数之间的相互转化．