Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式；
（2）是否存在正整数m，使得a₁，a_m，a₄₀成等比数列？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₅+a₁₃=34，S₃=9得

a5+a13=34 3a2=9

，由此能求出数列{a_n}的通项公式及前n项和公式．
（2）要使a₁，a_m，a₄₀成等比数列，必须（2m-1）²=1×（2×40-1）=79，因为79不是完全平方数，故不存在正整数m，使得a₁，a_m，a₄₀成等比数列．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₅+a₁₃=34，S₃=9．
∴

a5+a13=34 3a2=9

，…（2分）
即

a1+8d=17 a1+d=3

，
得：a₁=1，d=2，…．（4分）
故a_n=2n-1，Sn=n2，…（6分）
（2）要使a₁，a_m，a₄₀成等比数列，
必须am2=a1a40，
即（2m-1）²=1×（2×40-1）=79，…..（9分）
因为79不是完全平方数，故方程（2m-1）²=79无正整数解，
因此不存在正整数m，
使得a₁，a_m，a₄₀成等比数列…．（12分）

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质和应用，考查运算求解能力和论证推理能力，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．