Question

（本题满分14分）设为非负实数，函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）讨论函数的零点个数．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 的单调递增区间是和，单调递减区间是．

（Ⅱ）当时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点；

当时，函数有三个零点．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，，然后对于分段函数各段的情况分别说明单调性，整体来合并得到结论。

（2）当时，，

故当时，，二次函数对称轴，那么结合二次函数的 性质可知顶点的函数值为正数，负数，还是零，来确定零点的问题。

解：（Ⅰ）当时，，

① 当时，，∴在上单调递增；

② 当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增；

综上所述，的单调递增区间是和，单调递减区间是．

（Ⅱ）（1）当时，，函数的零点为；   

（2）当时，，

故当时，，二次函数对称轴，

∴在上单调递增，又，f(x)与x轴在有唯一交点；

当时，，二次函数对称轴，

∴在上单调递减，在上单调递增；∴，

 当，即时，函数与轴只有唯一交点，即唯一零点，

  当，即时，函数与轴有两个交点，即两个零点

 当，即时，f(a)<0，函数与轴有三个交点，即有三个零点

综上可得，当时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点；

当时，函数有三个零点．

考点：本题主要考查了函数单调性和函数的零点的运用。

点评：解决该试题的关键是对于参数的分类讨论是否能够很好的全面的表示出不同情况下的零点，也是该试题一个难点。