Question

在△ABC中，a，b，c分剐是角A，B，C的对边，且3cosAcosC（tanAtanC-1）=1．
（Ⅰ）求sin（2B-

5π

6

）的值；
（Ⅱ）若a+c=

3 3

2

，b=

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式括号中第一项利用同角三角函数间基本关系化简，整理后求出cosB的值，确定出sinB的值，进而求出sin2B与cos2B的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB，利用完全平方公式变形后，将a+b，b，cosB的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）由3coscosC（tanAtanC-1）=1得：3cosAcosC（

sinAsinC

cosAcosC

-1）=1，
整理得：3（sinAsinC-cosAcosC）=1，即cos（A+C）=-cosB=-

1

3

，
∴cosB=

1

3

，
∵B为三角形内角，
∴sinB=

2 2

3

，
∴sin2B=2sinBcosB=

4 2

9

，cos2B=1-2sin²B=-

7

9

，
则sin（2B-

5π

6

）=sin2Bcos

5π

6

-cos2Bsin

5π

6

=-

4 2

9

×

3

2

-（-

7

9

）×

1

2

=

7-4 6

18

；
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

(a+c)2-2ac-b2

2ac

=

1

3

，
将a+c=

3 3

2

，b=

3

代入得：ac=

45

32

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

15 2

32

．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．