Question

已知函数f（x）=2cos(x+

π

3

)[sin(x+

π

3

)-

3

cos(x+

π

3

)]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）方程m[f（x）+

3

]+2=0在x∈[0，

π

6

]内有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用和差公式把函数解析式化成标准形式，然后结合正弦函数的值域求f（x）的值域；
（2）根据x的范围求出[f（x）+

3

]的范围，然后由m[f（x）+

3

]+2=0知，m≠0，f（x）+

3

=-

2

m

，只须让

3

≤-

2

m

≤2即可．

解答： 解：（1）f（x）=2sin（2x+

π

3

）-

3

．
∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1．
∴-2-

3

≤2sin（2x+

π

3

）-

3

≤2-

3

，T=

2π

2

=π，
即f（x）的值域为[-2-

3

，2-

3

]，最小正周期为π．…（7分）
（2）当x∈[0，

π

6

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，
故sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1]，
此时f（x）+

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[

3

，2]．
由m[f（x）+

3

]+2=0知，m≠0，∴f（x）+

3

=-

2

m

，
即

3

≤-

2

m

≤2，
即

2 m + 3 ≤0 2 m +2≥0

，解得-

2 3

3

≤m≤-1．即实数m的取值范围是[-

2 3

3

，-1]．

点评：本题考查了三解函数式的化简及三角函数的图象与性质，解题的关键是把函数解析式化成标准形式，在求解函数的值域时注意x的取值范围．把方程有解问题转化成求函数的值域问题解决．