Question

已知函数f（x）=x³+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．

解答： 解：由题意得，函数的定义域是R，
且f（-x）=（-x）³+3（-x）=-（x³+3x）=-f（x），
所以f（x）是奇函数，
又f'（x）=3x²+3＞0，所以f（x）在R上单调递增，
所以f（mx-2）+f（x）＜0可化为：f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），
由f（x）递增知：mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，
则对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，
等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，
所以

-2x+x-2＜0 2x+x-2＜0

，解得-2＜x＜

2

3

，
即x的取值范围是(-2，

2

3

)，
故答案为：(-2，

2

3

)．

点评：本题考查恒成立问题，函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化思想，以及学生灵活运用知识解决问题的能力．