【题目】已知函数(其中
是自然对数的底数.)
(1)讨论函数的单调性;
(2)当函数有两个零点
,
时,证明:
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)由已知中函数的解析式,求出导函数的解析式,对进行分类讨论,确定
在不同情况下导函数的符号,进而可得函数的单调性.
(2)先求出,令
,求出
,问题转化为证明
,构造函数
,通过函数的单调性证明即可.
试题解析:(1)解:因为,
当时,令
得
,所以当
时,
,
当时,
,所以函数
在区间
上单调递减,
在区间上单调递增;
当时,
恒成立,故此时函数
在
上单调递增.
(2)证明:当时,由(1)知函数
单调递增,不存在两个零点,所以
,
设函数的两个零点为
,
,且
. 由题意得:
,
②-①得:
令 ,则
∴③可化为:
要证: 只需证:
即证:
构造函数 ,则
在
单调递增,
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【题目】已知点,圆
,点
是圆上一动点,
的垂直平分线与
交于点
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,过点
且斜率不为0的直线
与
交于
两点,点
关于
轴的对称点为
,证明直线
过定点,并求
面积的最大值.
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【题目】某公司经营一种二手机械,对该型号机械的使用年数与再销售价格
(单位:百万元/台)进行统计整理,得到如下关系:
使用年数 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
再销售价格 | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 5 |
(1)求关于
的回归直线方程
;
(2)该机械每台的收购价格为(百万元),根据(1)中所求的回归方程,预测
为何值时,此公司销售一台该型号二手机械所获得的利润
最大?
附:参考公式:,
.
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【题目】将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中,
.若将它们的斜边
重合,让三角形
以
为轴转动,则下列说法不正确的是( )
A. 当平面平面
时,
,
两点间的距离为
B. 当平面平面
时,
与平面
所成的角为
C. 在三角形转动过程中,总有
D. 在三角形转动过程中,三棱锥
的体积最大可达到
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【题目】如图所示,等腰的底边
,高
,点
是线段
上异于点
的动点,点
在
边上,且
,现沿
将△
折起到△
的位置,使
,记
,
表示四棱锥
的体积.
(1)求的表达式;(2)当
为何值时,
取得最大,并求最大值。
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【题目】函数f(x)对任意的m,n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.
(1)求证:f(x)在R上是增函数;
(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2
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【题目】动圆M与定圆C:x2+y2+4x=0相外切,且与直线l:x-2=0相切,则动圆M的圆心的轨迹方程为( )
A. y2-12x+12=0 B. y2+12x-12=0
C. y2+8x=0 D. y2-8x=0
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