Question

17．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=$\left\{\begin{array}{l}{b，a-b≥1}\\{a，a-b＜1}\end{array}\right.$，设f（x）=（x²-2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（-3，-2）∪（-8，-7]∪{1}．

Answer 1

分析 由条件根据新定义求得f（x）的解析式，由题意可得f（x）的图象和直线y=-k有2个交点，数形结合求得k的范围．

解答 解：令（x²-2x）-（x+3）=1，
求得x=-1，或x=4，
故当x≤-1或x≥4时，
（x²-2x）-（x+3）≥1，f（x）=x+3；
当x∈（-1，4）时，
（x²-2x）-（x+3）＜1，f（x）=x²-2x．
函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，
则f（x）的图象和直线y=-k有2个交点，
如图所示：
故有-k=-1，或2＜-k＜3，或 7≤-k＜8，
求得实数k的取值范围为：（-3，-2）∪（-8，-7]∪{1}．

点评 本题主要考查新定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．