Question

8．△ABC中，a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，2b=c+2acosC．
（1）求A
（2）S_△ABC=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{13}$，求b+c．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2cosAsinC，由C为三角形内角，sinC≠0，解得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．
（2）利用已知即三角形面积公式可求bc=4，利用余弦定理可得13=（b+c）²-12，即可得解b+c的值．

解答 解：（1）∵2b=c+2acosC．
∴由正弦定理可得：2sinB=sinC+2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴可得：sinC=2cosAsinC，
∵C为三角形内角，sinC≠0，解得cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴解得：bc=4，
∵A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{13}$，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：13=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-12，
∴解得：b+c=5．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．