Question

18．已知正实数m，n，设a=m+n，b=$\sqrt{{m^2}+14mn+{n^2}}$．若以a，b为某个三角形的两边长，设其第三条边长为c，且c满足c²=k•mn，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （1，6）
• B． （2，36）
• C． （4，20）
• D． （4，36）

Answer 1

分析 由基本不等式得a=m+n$≥2\sqrt{mn}$，b=$\sqrt{{m^2}+14mn+{n^2}}$$≥4\sqrt{mn}$，由余弦定理得c²=a²+b²-2accosC，由此能求出实数k的取值范围．

解答 解：∵正实数m，n，
∴a=m+n$≥2\sqrt{mn}$，b=$\sqrt{{m^2}+14mn+{n^2}}$$≥4\sqrt{mn}$，
∵其第三条边长为c，且c满足c²=k•mn，
∴c²=a²+b²-2abcosC
≥4mn+16mn-16mncosC，
∵-1≤cosC≤1，
∴4kmn≤c²≤36mn，
∴实数k的取值范围为（4，36）．
故选：D．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意基本不等式和余弦定理的合理运用．