Question

8．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，函数g（x）的图象可由函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{7}{6}$π得到，则对于满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的x₁、x₂，|x₁-x₂|的最小值等于（　　）

• A． $\frac{π}{24}$
• B． $\frac{π}{12}$
• C． $\frac{π}{8}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 分别求出f（x），g（x）的解析式，由三角函数的值域可知f（x₁）=1，g（x₂）=-1或f（x₁）=-1，g（x₂）=1，根据三角函数的性质求出x₁，x₂．计算|x₁-x₂|．

解答 解：由图象可知f（x）的周期为2（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=π，∴ω=2．∵f（$\frac{π}{6}$）=0，∴cos（$\frac{π}{3}$+φ）=0，∴φ=$\frac{π}{6}$．∴f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）．
g（x）=sin（2（x-$\frac{7π}{6}$）+$\frac{π}{3}$）=sin2x．
∵|f（x₁）-g（x₂）|=2，-1≤f（x₁）≤1，-1≤g（x₂）≤1，
∴f（x₁）=1，g（x₂）=-1或f（x₁）=-1，g（x₂）=1，
当f（x₁）=1，g（x₂）=-1时，2x₁+$\frac{π}{6}$=2k₁π，2x₂=-$\frac{π}{2}$+2k₂π，∴x₁=-$\frac{π}{12}$+k₁π，x₂=-$\frac{π}{4}$+k₂π，
∴|x₁-x₂|=|$\frac{π}{6}+kπ$|，k∈Z．∴|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{6}$．
当f（x₁）=-1，g（x₂）=1时，2x₁+$\frac{π}{6}$=π+2k₁π，2x₂=$\frac{π}{2}$+2k₂π，∴x₁=$\frac{5π}{12}$+k₁π，x₂=$\frac{π}{4}$+k₂π．
∴|x₁-x₂|=|$\frac{π}{6}$+kπ|，k∈Z．∴|x₁-x₂|的最小值$\frac{π}{6}$．
综上，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的图象变换，三角函数的最值，属于中档题．