Question

20．若点P在直线AB上，且满足$\overrightarrow{OP}$=（x-y）$\overrightarrow{OA}$+（sinx+1）$\overrightarrow{OB}$，x∈[-1，1]．
（1）求函数y=f（x）的表达式，并判断f（x）的单调性和奇偶性；
（2）是否存在实数m，使不等式f（1-m）+f（m²-1）＞0恒成立．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三点共线的性质求得y=x+sinx，由此根据奇偶函数的定义判断该函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性．
（2）不等式即f（1-m）＞-f（m²-1）=f（1-m²），再利用单调性以及定义域求得m的范围．

解答 解：（1）∵点P在直线AB上，且满足$\overrightarrow{OP}$=（x-y）$\overrightarrow{OA}$+（sinx+1）$\overrightarrow{OB}$，x∈[-1，1]，
∴x-y+（sinx+1）=1，即y=x+sinx．
由于y=f（x）=x+sinx 的定义域为[-1，1]，关于原点对称，
且满足f（-x）=-x+sin（-x）═-（x+sinx）=-f（x），
故函数y=f（x）为奇函数．
由y′=1+cosx在[-1，1]上大于零或等于零恒成立，故函数f（x）在[-1，1]上为增函数．
（2）不等式f（1-m）+f（m²-1）＞0恒成立，即f（1-m）＞-f（m²-1）=f（1-m²），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤1-m≤1}\\{-1{≤m}^{2}-1≤1}\\{1-m＞1{-m}^{2}}\end{array}\right.$，求得1＜m≤$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三点共线的性质，函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式，属于中档题．