Question

11．已知函数f（x）=log_a$\frac{x+m}{x-2}$（a＞0且a≠1）的定义域为{x|x＞2或x＜-2}．
（1）求实数m的值；
（2）设函数g（x）=f（$\frac{2}{x}$），对函数g（x）定义域内任意的x₁，x₂，若x₁+x₂≠0，求证：g（x₁）+g（x₂）=g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$）；
（3）若函数f（x）在区间（a-4，r）上的值域为（1，+∞），求a-r的值．

Answer 1

分析 （1）解$\frac{x+2}{x-2}＞0$可得x＞2，或x＜-2，这样即可得出m=2；
（2）根据f（x）的解析式可以求出g（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，进行对数的运算可以求出$g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）=lo{g}_{a}\frac{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{2}}$，并可以求出$g（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）=lo{g}_{a}\frac{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{2}}$，从而得出$g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）=g（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）$；
（3）分离常数得到$f（x）=lo{g}_{a}（1+\frac{4}{x-2}）$，可看出a＞1时，f（x）在（a-4，r）上单调递减，从而可以得到$f（x）＞lo{g}_{a}（1+\frac{4}{r-2}）$，且a=6，从而有$1+\frac{4}{r-2}=6$，这样即可求出r，从而得出a-r，同样的方法可以求出0＜a＜1时的a，r值，从而求出a-r．

解答 解：（1）m=2时，解$\frac{x+2}{x-2}＞0$得，x＞2，或x＜-2；
∴m=2；
（2）证明：$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+2}{x-2}$，$g（x）=lo{g}_{a}\frac{\frac{2}{x}+2}{\frac{2}{x}-2}=lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$；
∴g（x₁）+g（x₂）=$lo{g}_{a}（\frac{1+{x}_{1}}{1-{x}_{1}}•\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}）$=$lo{g}_{a}\frac{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{2}}$；
$g（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）=lo{g}_{a}\frac{1+\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}}{1-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}}$=$lo{g}_{a}\frac{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{2}}$；
∴$g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）=g（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）$；
（3）$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+2}{x-2}=lo{g}_{a}（1+\frac{4}{x-2}）$；
∴①若a＞1，f（x）在（a-4，r）上单调递减；
∴$lo{g}_{a}（1+\frac{4}{r-2}）＜f（x）＜lo{g}_{a}（1+\frac{4}{a-6}）$；
∴$a=6，1+\frac{4}{r-2}=a=6$；
∴$r=\frac{14}{5}$；
∴$a-r=\frac{16}{5}$；
②若0＜a＜1，f（x）在（a-4，r）上单调递增；
∴$lo{g}_{a}（1+\frac{4}{a-6}）＜f（x）＜lo{g}_{a}（1+\frac{4}{r-2}）$；
∴$r=-2，1+\frac{4}{a-6}=a$；
∴$a=\frac{7-\sqrt{41}}{2}$，或$a=\frac{7+\sqrt{41}}{2}$（舍去）；
∴$a-r=\frac{11-\sqrt{41}}{2}$．

点评 考查分式不等式的解法，对数的真数大于0，已知f（x）求f[g（x）]的方法，对数的运算，以及复合函数的单调性，根据单调性求函数的值域．