Question

10．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为（4，$\frac{3π}{2}$），若点M落在曲线C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=a上，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），点N为曲线C₂上动点．
（I）求曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）记点N到曲线C₁的距离为d，求d的最小值并判断点M与曲线C₂的位置关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由M（4，$\frac{3π}{2}$）落在曲线C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=a上，先求出a，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，能求出曲线C₁的直角坐标方程．
（Ⅱ）设N（cosθ-2，sinθ），求出点N到曲线C₁距离d，利用三角函数性质能求出d的最小值，求出点M直角坐标和曲线C₂的直角坐标方程，由此能判断点M与圆C₂的位置关系．

解答 解：（Ⅰ）∵M的极坐标为（4，$\frac{3π}{2}$），点M落在曲线C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=a上，
∴a=4cos（$\frac{3π}{2}+\frac{π}{6}$）=-4sin$\frac{π}{6}$=-2，
∴曲线C₁：ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=-2，
∴$\frac{1}{4}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{4}ρcosθ=0$，
∴曲线C₁的直角坐标方程为$\frac{1}{4}y-\frac{\sqrt{3}}{4}x=0$，即y=$\sqrt{3}x$．
（Ⅱ）∵曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），点N为曲线C₂上动点，
∴设N（cosθ-2，sinθ），
点N（cosθ-2，sinθ）到曲线C₁：y=$\sqrt{3}x$距离为d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-2\sqrt{3}-sinθ|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{2π}{3}）-2\sqrt{3}|}{2}$=|sin（$θ+\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$|，
∴$sin（θ+\frac{2π}{3}）=1$时，d取最小值$\sqrt{3}-1$．
点M（4，$\frac{3π}{2}$）的直角坐标为A（0，-4），
∵曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），
∴曲线C₂的直角坐标方程为（x+2）²+y²=1，由圆心为C₂（-2，0），半径r=1的圆，
∵|MC₂|=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$＞r=1，∴点M在圆C₂外．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到曲线距离的最小值的求法，考查点与曲线的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．