Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ）．
（1）若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$，求tanθ的值；
（2）求|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用向量垂直的条件：数量积为0，再由同角的商数关系，即可得到所求值；
（2）运用向量的平方即为模的平方，结合同角的平方关系和辅助角公式，再由正弦函数的值域，即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），
若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即有sinθ+cosθ=0，
则tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-1；
（2）|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（sinθ+1）^{2}+（1+cosθ）^{2}}$
=$\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+2+2（sinθ+cosθ）}$
=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}$，
当θ+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即θ=2kπ++$\frac{π}{4}$，k为整数，
可得|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|的最大值$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量垂直的条件：数量积为0，考查同角的平方关系和商数关系，以及辅助角公式，考查向量的数量积的性质的运用，属于中档题．