Question

4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）画出函数f（x）在R上的图象（不要求列表），并写出函数f（x）的单调区间（不用证明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的对称性的性质即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）作出函数的图象，结合函数单调性的性质进行求解．

解答 解：（Ⅰ）设x＜0，则-x＞0…（1分）
∴f（-x）=x²+2x（2分）
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）（3分）
∴f（-x）=x²+2x=-f（x），
即f（x）=-x²-2x，x＜0（4分）
又f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}-2x，}&{x＜0}\end{array}\right.$（6分）
（Ⅱ）作出对应的图象如图：
（9分）
单调递增区间是：（-∞，-1]和[1，+∞）； （11分）
单调递减区间是：（-1，1）； （12分）

点评 本题主要考查函数解析式以及函数单调性的判断和求解，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．