Question

14．直线l：y=kx+1与圆O：x²+y²=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为$\frac{1}{2}$”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分又不必要条件

Answer 1

分析 根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．

解答 解：若直线l：y=kx+1与圆O：x²+y²=1相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，|AB|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}=2\sqrt{1-\frac{1}{1+{k}^{2}}}=2\sqrt{\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
若k=1，则|AB|=$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，d=$\frac{1}{\sqrt{1+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则△OAB的面积为$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$成立，即充分性成立．
若△OAB的面积为$\frac{1}{2}$，则S=$\frac{1}{2}×\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}×2\sqrt{\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{|k|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{|k|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
即k²+1=2|k|，即k²-2|k|+1=0，
则（|k|-1）²=0，
即|k|=1，
解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．
故“k=1”是“△OAB的面积为$\frac{1}{2}$”的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．