Question

5．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≤0\\ x≥1\\ x+y-7≤0\end{array}\right.$，则2x+y的取值范围是（　　）

• A． （-∞，5]∪[$\frac{19}{2}$，+∞）
• B． [5，8]
• C． [5，$\frac{19}{2}$]
• D． [8，$\frac{19}{2}$]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，设z=2x+y，利用z的几何意义即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$），
代入目标函数z=2x+y得z=2×$\frac{5}{2}$+$\frac{9}{2}$=$\frac{19}{2}$．
即目标函数z=2x+y的最大值为$\frac{19}{2}$．
当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（1，3），
代入目标函数z=2x+y得z=2×1+3=5．
即目标函数z=2x+y的最小值为5．
目标函数z=2x+y的取值范围是[5，$\frac{19}{2}$]，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．