Question

17．已知x²+y²=9的内接三角形ABC中，A点的坐标是（-3，0），重心G的坐标是$（-\frac{1}{2}，-1）$，求：
（Ⅰ）直线BC的方程；
（Ⅱ）弦BC的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要求三角形顶点的坐标，可先将它们的坐标设出来，根据重心的性质，我们不难求出BC边上中点D的坐标，及BC所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案．
（Ⅱ）求出圆心到BC所在直线的距离，即可求出弦BC的长度．

解答 解：（I）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则由已知得${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}$；y₁+y₂=-3
所以BC中点坐标为$（\frac{3}{4}，-\frac{3}{2}）$，故${k_{BC}}=\frac{1}{2}$
所以BC所在直线方程为：$y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}（x-\frac{3}{4}）$，即4x-8y-15=0-----（5分）
（II）由（I）得圆心到BC所在直线的距离为 $d=\frac{|-15|}{{\sqrt{16+64}}}=\frac{15}{{\sqrt{80}}}$
所以弦BC的长度为$2\sqrt{9-\frac{225}{80}}=2\sqrt{\frac{99}{16}}=\frac{3}{2}\sqrt{11}$．-----（10分）

点评 本题考查三角形重心的性质，中点坐标公式，直线的点斜式方程．属于中档题．