Question

20．设函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-1（-2≤x≤0）\\ x-1（0＜x≤2）\end{array}\right.$，$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}x，x∈[-2，2]$，若$g（{log_2}a）+g（{log_{\frac{1}{2}}}a）≤2g（\frac{1}{2}）$，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}]$
• B． $[1，\sqrt{2}]$
• C． $[\frac{1}{2}，2]$
• D． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 根据条件先求出函数g（x）的表达式，判断函数的奇偶性和单调性，根据函数奇偶性和单调性的性质结合对数的运算法则将不等式进行转化求解即可．

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-1（-2≤x≤0）\\ x-1（0＜x≤2）\end{array}\right.$，$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}x，x∈[-2，2]$，
∴当-2≤x≤0时，g（x）=-1-$\frac{1}{2}x$，为减函数
当0＜x≤2时，g（x）=x-1-$\frac{1}{2}x$=$\frac{1}{2}x$-1，为增函数，
则若-2≤x＜0，则0＜-x≤2，则g（-x）=-$\frac{1}{2}x$-1=g（x），
若0＜x≤2，则-2≤-x＜0，则g（-x）=$\frac{1}{2}x$-1=g（x），
则恒有g（-x）=g（x），即函数g（x）为偶函数，
则g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-1$=$-\frac{3}{4}$．
则$g（{log_2}a）+g（{log_{\frac{1}{2}}}a）≤2g（\frac{1}{2}）$等价为g（log₂a）+g（-log₂a）≤2×（$-\frac{3}{4}$）=-$\frac{3}{2}$，
即2g（log₂a）≤2×（$-\frac{3}{4}$），
则g（log₂a）≤（$-\frac{3}{4}$），
即g（log₂a）≤g（$\frac{1}{2}$），
即g（|log₂a|）≤g（$\frac{1}{2}$），
则|log₂a|≤$\frac{1}{2}$，
即-$\frac{1}{2}$≤log₂a≤$\frac{1}{2}$，
得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据条件求出函数的解析式，并判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强．